Matemática discreta Ejemplos

$x^{2} - 5 x = 5$

Paso 1

Para crear un trinomio cuadrado en el lado izquierdo de la ecuación, obtén un valor que sea igual al cuadrado de la mitad de $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 2

Suma el término a cada lado de la ecuación.

$x^{2} - 5 x + {(- \frac{5}{2})}^{2} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3

Simplifica la ecuación.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 5 x + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 5 x + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 5 x + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3.1.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{5^{2}}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{2^{2}} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $5 + {(- \frac{5}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}$

Paso 3.2.1.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + 1 \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.1.3

Multiplica $\frac{5^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + \frac{5^{2}}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.1.4

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + \frac{25}{2^{2}}$

Paso 3.2.1.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 + \frac{25}{4}$

Paso 3.2.1.2

Para escribir $5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 3.2.1.3

Combina $5$ y $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Paso 3.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{5 \cdot 4 + 25}{4}$

Paso 3.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.5.1

Multiplica $5$ por $4$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{20 + 25}{4}$

Paso 3.2.1.5.2

Suma $20$ y $25$ .

$x^{2} - 5 x + \frac{25}{4} = \frac{45}{4}$

Paso 4

Factoriza el cuadrado trinomio perfecto en ${(x - \frac{5}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{5}{2})}^{2} = \frac{45}{4}$

Paso 5

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 5.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{45}{4}}$

Paso 5.2

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{45}{4}}$ .

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Paso 5.2.1

Reescribe $\sqrt{\frac{45}{4}}$ como $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

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Paso 5.2.2.1.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.2.2.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.2.2.2

Retira los términos de abajo del radical.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 5.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x - \frac{5}{2} = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Paso 5.3

Suma $\frac{5}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \pm \frac{3 \sqrt{5}}{2} + \frac{5}{2}$

Forma decimal:

$x = 5.85410196 \dots, - 0.85410196 \dots$